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Como saber si un vector es paralelo a otro

Vectores paralelos

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla «estrecho» (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.

Empezaremos con la suma de dos vectores. Así que, dados los vectores \ (\vec a = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3}} \right\rangle \) y \ (\vec b = \left\langle {{b_1},{b_2},{b_3} \right\rangle \) la adición de los dos vectores está dada por la siguiente fórmula.

Computacionalmente, la sustracción es muy similar. Dados los vectores (\vec a = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3}} \right\rangle \) y \vec b = \left\langle {{b_1},{b_2},{b_3} \right\rangle \) la diferencia de los dos vectores viene dada por,

Es un poco más difícil ver esta interpretación geométrica. Para ayudar a ver esto vamos a pensar en la sustracción como la adición de \(\vec a\) y \( – \,\vec b\). En primer lugar, como veremos en un momento \( – \,\vec b\) es el mismo vector que \(\vec b\) con signos opuestos en todos los componentes. En otras palabras, \( – \,\vec b\) va en la dirección opuesta a \(\vec b\). Aquí está el vector establecido para \(\vec a + \left( { – \vec b} \right)\).

Vectores ortogonales

En primer lugar, encontremos las componentes de los vectores MA y MB dadas las coordenadas de los tres puntos. MA = (2 – x , -2 – y )MB = (4 – x , -3 – y)El producto escalar MA- MB = 0 se escribe utilizando las componentes de los dos vectores(2 – x)(4 – x) + (-2 – y)(-3 – y) = 0Expanda y simplifica para obtener la ecuación de la circunferencia 2 – 6 x + y 2 + 5y + 14 = 0Pregunta 5Dado el vector U = (2 , -5), encuentra. a) la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1 , 1) y es paralela al vector U. b) la ecuación de la recta que pasa por el punto B(-2 , -3) y es perpendicular al vector U.Solución a la pregunta 5a) Un punto M(x , y) está en la recta que pasa por el punto A(1 , 1) y es paralelo al vector U = (2 , -5) si y sólo si los vectores AM y U son paralelos. Primero encontremos las componentes de los vectores AM.AM = (x – 1 , y – 1)Los vectores AM = (x – 1 , y – 1) y U = (2 , -5) son paralelos si y sólo si(x – 1) (-5) = (2)(y – 1)

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Expandir y simplificar para obtener la ecuación de la recta5 x + 2 y = 3b) Un punto M(x , y) está en la recta que pasa por el punto B(-2 , -3) y es perpendicular al vector U = (2 , -5) si y sólo si los vectores BM y U son perpendiculares. Primero encontremos las componentes de los vectores BM.BM = (x – (-2) , y – (-3)) = (x + 2 , y + 3)Los vectores BM = (x + 2 , y + 3) y U = (2 , -5) son perpendiculares si y sólo si(x + 2) (2) + (y + 3)(-5) = 0

Encuentra a y b tales que ~v y ~w son ortogonales.

«La ortogonalidad es inmensamente importante. Una rápida exploración de tu entorno actual revelará sin duda numerosas superficies y aristas que son perpendiculares entre sí (incluidos los bordes de esta página). El producto punto proporciona una prueba rápida de ortogonalidad: los vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) son perpendiculares si, y sólo si, \(\vec u \cdot \vec v=0\).

Dados dos vectores no paralelos y no nulos \(\vec u\) y \(\vec v\) en el espacio, es muy útil encontrar un vector \(\vec w\) que sea perpendicular tanto a \(\vec u\) como a \vec v\). Existe una operación, llamada producto cruzado, que crea dicho vector. En esta sección se define el producto cruzado y se exploran sus propiedades y aplicaciones.

Sea \(\vec u =\langle u_1,u_2,u_3\rangle) y \(\vec v = \langle v_1,v_2,v_3\rangle) vectores en \(\mathbb{R}^3). El producto cruzado de \(\vec u\) y \(\vec v\), denotado \(\vec u \times \vec v\), es el vector

Esta definición puede ser un poco engorrosa de recordar. Después de un ejemplo daremos un método conveniente para calcular el producto cruzado. Por ahora, un examen cuidadoso de los productos y las diferencias dadas en la definición debería revelar un patrón que no es demasiado difícil de recordar. (Por ejemplo, en el primer componente sólo aparecen 2 y 3 como subíndices; en el segundo componente, sólo aparecen 1 y 3 como subíndices. Un estudio más profundo revela el orden en que aparecen).

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Comprobar si los vectores son paralelos

paralelos si apuntan exactamente en la misma dirección o en direcciones opuestas, y nunca se cruzan entre sídespués de factorizar los factores comunes, los números de dirección restantes serán iguales tampocoDado que es fácil tomar un producto de puntos, es una buena idea acostumbrarse a probar los vectores para ver si son ortogonales, y luego si no lo son, probar para ver si son paralelos.

Dado que es fácil obtener un producto punto, es una buena idea acostumbrarse a comprobar si los vectores son ortogonales y, si no lo son, comprobar si son paralelos.